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热门搜索: 方法 答案 数学 物理 第10章 第6章

数学物理方法1数学物理方法1 -- 0 元

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数学 答案 物理 方法 第一章
文档简介:
第一章

复变函数理论基础

习题 1.1 复数 1. 写出下列复数的实部,虚部,模和辐角,并写出(1)~(5)的指 数式和三角式: (1) 1  i 3

3

;


(2) ; (4) (6)

1 i 3 1 i 3

; ;

(3) 2(cos  i sin )
3

1

(5) i

;

eiR sin  ( R,为实常数)

解:下列复数的实部,虚部,模,辐角分别为 (1)
x  1, y   3, z  x 2  y 2  2, 4  2k , (k  0, 1, 2 ) 3 4 i 4 4 z  2e 3  2 cos  i 2sin 3 3 Argz 

(2)
1 3 , z  x 2  y 2  1, x ,y 2 2 Argz   ze
i



3

 2k , (k  0, 1, 2 )


3

 cos


3

 i sin


3

(3)

x  2 cos Argz 


3

, y  2sin


3

, z  x 2  y 2  2,

2  2k , (k  0, 1, 2 ) 3 2 i 2 2 z  2e 3  2 cos  i 2sin 3 3

(4)
x  1, y  0, z  x 2  y 2  1, Argz    2k , (k  0, 1, 2 ) z  e  i  cos   i sin 

(5)
x  0, y  1, z  x 2  y 2  1, Argz   ze
i


2

 2k , (k  0, 1, 2 )


2

 cos


2

 i sin


2

(6)
x  cos( R sin  ), y  sin( R sin  ), z  x 2  y 2  1, Argz  arctan( R sin  )  2k , (k  0, 1, 2  )

2.计算下列复数: (1)
1 i ; 1 i

(2) (4)

(1  i )3
4

; ;

(3) i

;

1 i

(5) a  bi (a, b为实常数) 解:

(1)

1  i (1  i )(1  i ) 2i   i 1  i (1  i )(1  i ) 2

(2) (1  i)3  (1  i)(1  i) 2  (1  i)2i  2  2i

(3)将 i  e
i e2

i (  2 k ) 2



代入,得

1 i (  2 k ) 2

, k  0,1

这表明, i 有两个不同的根
e 4 ,e
i



i

5 4

(4)

4

1  i  (2 2 e

1

1  i (  2 k ) 4 4

)  28 e 4

1

1 i (  2 k ) 4

, k  0,1, 2,3,

这表明, 4 1  i 有四个个不同的根
1

2 8 e 16 , 2 8 e 16 , 2 8 e

i



1

i

9

1

i

17 16

1

, 28 e

i

25 16

1 b b i ( arctan  k ) i (arctan  2 k )  2  a a (5) a  ib   a 2  b2 e  4 a 2  b2 e 2   

1

1 b 1 b    4 a 2  b 2  cos( arctan  k  )  i sin( arctan  k )  2 a 2 a  

3 证明下列关系式:
* (1) 1  z2)  z1*  z2* (z

;

(2) z1 z2*  z2 z1*  2 Re(z1 z2* )  2 Re(z2 z1* ) ; (3) z1 z2  z1 z2 (4) Re z  z ;

证明:设: z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 则, (1)
* (z1  z2)   ( x1  iy1 )  ( x2  iy2 )  *

  ( x1  x2 )  i ( y1  y2 )   ( x1  iy1 )  ( x2  iy2 )  z1*  z2*

*

(2)
z1 z2*  z2 z1*  ( x1  iy1 )( x2  iy2 )  ( x2  iy2 )( x1  iy1 )  2( x1 x2  y1 y2 )  2 Re  ( x1  iy1 )( x2  iy2 )   2 Re  ( x2  iy2 )( x1  iy1 )   2 Re(z1 z2* )  2 Re(z2 z1* )

(3)
z1 z2   ( x1  iy1 )( x2  iy2 )   ( x1 x2  y1 y2 )  i ( x1 y2  y1 x2 )  ( x1 x2  y1 y2 ) 2  ( x1 y2  y1 x2 ) 2  ( x12  y12 )( x2 2  y2 2 )  z1 z2

(4) Re z  x  x 2  y 2  z

4. 利用棣摩弗公式将 cos 4 和 sin 4 展开成 sin 和 cos 的多项式 解: cos n  i sin n  (cos   i sin  )n  
ik n! sin k  cos n  k  k  0 k !( n  k )!
n


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